チェーンが外れる原因がわかれば、手を汚すこともありません。
原因は大きく分けると二つですが、一つは、チェーンがのびてたるんでる場合があります。これはチェーン引きで解決するのですが、方法としては後輪を後ろにずらすことになります。　

�@　後輪の軸のナットを３，４回転ゆるめる。（左右両方を）
�A　後輪の軸の後ろに向かって出ている細いネジ（チェーン引き）についているを少しづつ締める。
　　 チェーン引きは左右に付いている場合もあります。（チェーンのたるみは上下１ｃｍ程度が目安）
�B　チェーンの弛みがＯＫなら、タイヤがまっすぐになってるかどうかを確認してから最初に弛めたナットを締め付けて終了。

走っててしょっちゅうチェーンがカチャカチャいってるようならチェーンがゆるんでます。先ほどのように自分で調整すれば直ります。
チェーンが外れる二つ目の原因は車体が曲がっているか、ギヤ（歯車）が曲がっていることです。この場合は、自転車店で相談してください。
そして部品交換か廃車を覚悟してください。

知恵袋の一覧もあります。